Der Goldene Schnitt

Göttliche Mathematik in der Architektur der Natur

Woher bloß haben die Baumeister der kunstvoll gewendelten Schneckenhäuser ihre genialen Baupläne? Wieso kennt die Sonnenblume komplizierte mathematische Zahlenverhältnisse, nach der sie die Kerne ihrer Frucht spiralförmig angeordnet? Ähnliche Fragen stellen sich bei näherer Naturbetrachtung für jedes noch so kleine Lebewesen. Ob beim Blattaufbau eines Gänseblümchens, der Konstruktion eines Kiefernzapfen oder bei der Kaninchenpopulation: immer wieder taucht eine mystische Zahlenfolge auf – 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …

Kaum weniger, als die Fähigkeit der Zugvögel über zigtausend Kilometer ohne Kompass zielgenau ihr Nest wieder zu finden, ist die Präzision, mit der die Sonnenblume ihre Kerne in Spiralen aufbaut, beeindruckend zu nennen. Immer sind es entweder 34 und 55 – oder 55 und 89 Kerne, die sich spiralförmig winden. Die Spiralen großer Sonnenblumen zählen sogar 144 Sonnenblumenkerne in ihren Fruchtständen. Und so mag man mit Fug und Recht fragen, woher die Pflanzen ihre Rechenkünste haben?

In diesem Zusammenhang sei nebenbei auf eine der Besonderheiten der Zahl 144 hingewiesen: sie ist als die zwölfte Fibonacci-Zahl zugleich die zwölfte Quadratzahl – und somit nicht nur die Schnittstelle dieser beiden bedeutsamen Zahlenreihen, sondern zudem eine, in vielen geheimnisvollen Gleichungen der göttlichen Mathematik verwendete Symbolzahl.

Sie begegnete uns unter anderem bereits in den 12 Tönen der Musik. In der christlichen Symbolik sitzen die 12 Söhne Jakobs des Alten Testaments mit den 12 Aposteln des Neuen Testaments auf den 24 Thronen der Offenbarung. Ihre Multiplikation ergibt 144, die mit der Vielzahl 1000 multipliziert – die Zahl der 144000 „Versiegelten“ ergibt.

Und so mag man ahnen, kraft wessen Plan die Zugvögel ihr Nest wieder finden und die Sonnenblumen sich nie verzählen bei der Anzahl der Spiralen in ihren Fruchtständen, deren Zahlenproportionen nicht irgendeinem statistischen Mittelwert einer Zufallsstreuung entsprechen, sondern einer exakt auszählbaren Ordnung.

Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci, der um 1200 mit seinem Werk „Liber Abaci“ die indische Rechenkunst auch in Europa bekannt machte und die heute übliche arabische Schreibweise der Zahlen einführte, brachte auch hinsichtlich der Beantwortung der Frage, woher den Pflanzen und Tieren ihre mathematischen Fähigkeiten kommen, Licht ins mittelalterliche Wissensdunkel des Abendlandes. Ihm dankt die Wissenschaft das mathematische Gesetz der nach ihm benannten „Fibonacci-Reihe“: Jenes immer wiederkehrenden Zahlenverhältnis der biologischen Ordnung, das auch in vielen anderen Lebensbereichen – bis hin zu weltwirtschaftlich ökonomischen Belangen – vielfache Anwendung findet.

Die `Fibonacci-Reihe´ ergibt sich aus einer einfachen Regel: „Addiert man die letzten beiden Zahlen, erhält man die Nächsthöhere.“ 1 und 2 ergibt demnach 3, zwei und drei ergibt 5 (3+5=8; 5+8=13) und so weiter. Je weiter die Fibonacci-Reihe gegen Unendlich fortgesetzt wird, desto mehr nähert sich das Verhältnis zwischen zwei Nachbarzahlen dem Wert des Goldenen Schnittes (1: 1,618) – auf den im Folgenden näher zu kommen sein wird.

Dass im übrigen auch Leonardo von Pisa diese Erkenntnis nicht vom Himmel gefallen ist – sondern eine uralte Erinnerung an das vergessene Ganzheitliche Weltbild war, versteht sich aus der geschichtlichen Herleitung dieses Themas. Auf seinen Reisen, die ihn bis nach Indien und Ägypten führten, wird er von diesen Zusammenhängen erfahren haben. Denn auch der indische Dichter Acharya Hemachandra (1089–1172) beschreibt diese geheimnisvolle Zahlenfolge – neben ihrer Bedeutung für die Architektur der Natur in ihren anorganischen, pflanzlichen und tierischen Reichen – als ebenso bedeutsam für den Rhythmus der Sprache. Denn aus ihr ergibt sich – in der Verteilung von kurzen und langen Silben – für die Dichtkunst ein logisches Metrum. Somit erweist sich dieses mystische Zahlenverhältnis nicht nur als Maßband der Natur, sondern zugleich als Parameter für die Entwicklung menschlicher Kultur.

Bereits im sechsten Jahrhundert wies der indische Dichter und Mathematiker Virahanka auf diese Zusammenhänge hin. Und noch früher finden sich unter dem Namen `maatraameru´ („Berg der Kadenz“) in der Chhandah-shāstra („Kunst der Silbenbetonung“) des indischen Musikers und Philosophen Pingala (um 450) Hinweise auf die Bedeutung dieser Zahlenreihe.

Es sollte jedoch nicht wundern, wenn noch wesentlich ältere Informationen über diese ganzheitlichen Beziehungen in einem der Bücher aus vorchristlicher Zeit zu finden wären, wenn sie denn der Verbrennung in der damals größten Bibliothek der Welt – Alexandria in Ägypten – entgangen wären. Damals – 642 – ließ der Kalif Umar Ibn al-Chattab bei der Eroberung Alexandriens alle dort gesammelten Schriften der Menschheitsgeschichte vernichten, die dem Koran widersprächen. Nach islamistischer Auffassung wiederholten die übrigen Werke sowieso nur das, was bereits im Koran stände. Weil sie deshalb folglich überflüssig waren, verbrannte man diese unersetzlichen Handschriften zur Beheizung der öffentlichen Bäder. (Ein besonders krasses Beispiel für die Beherrschung der linken Gehirnhälfte durch die rechte Hemisphäre eines in „Rationalität“ und „Glauben“ geteilten Bewusstseins).

Goldener Schnitt

Der „Goldene Schnitt“ bezeichnet ein Verhältnis von zwei Größen, das besonders harmonisch ist. Diese Proportion gilt deshalb in der Architektur als wesentlicher Maßstab, der sich insbesondere in den sakralen Baukunstwerken der Renaissance ein menschheitsgeschichtliches Denkmal gesetzt hat. Darüber hinaus stellt dieses Verhältnis eine interdisziplinäre Brücke zwischen den Wissenschaften her, da es grundsätzlich ein optimales Verhältnis von zwei Größen zueinander beschreibt: Wenn das Kleinere sich zu dem Größeren so verhält, wie das Größere zur Summe beider, entspricht dies dem „Goldenen Schnitt“: a : b = b : (a + b) Wenn a gleich 1 ist, beträgt b etwa 1,618. Also ergibt sich als Idealverhältnis 1:1,618 = 0,6180469.

Dieses Maß ist nicht nur ein vielfältig angewendeter Zirkelschlag des großen Architekten der Natur, sondern ergibt auch für die Verhältnisse des menschlichen Körpers und das Empfinden der menschlichen Sinne eine harmonische Proportion, die nicht nur in geometrischer Gestaltung sichtbar – sondern auch in der Musik als „Wohlklang“ hörbar wird.

Womit wir wieder beim pythagoräischen Monochord und den mathematischen Proportionen als musikalische Intervalle wären. Während das Verhältnis 1:1 als Prime in der Musik als Einklang hörbar wird – und das Verhältnis 1:2 als Oktave, kommt die reine Quinte 2:3 (= 0,666) dem Goldenen Schnitt bereits nahe und nähert sich in der Kleinen Sexten 5:8 (= 0,625) dem „Idealverhältnis“ noch weiter an, bis es im Verhältnis 8:13 (= 0,615) der idealen Proportion bereits ziemlich exakt entspricht. Weitere Intervalle, die sich in der Unendlichkeit der vollkommenen Verhältniszahl 0,6180469  immer weiter annähern, sind zum Beispiel:

13:21   (= 0,6190476);
21:34   (= 0,6176475);
34:55   (= 0,6181818);
55:89   (= 0,6179775);
89:144 (= 0,6180555);      …

Klangsehen und Farbenhören

Diese Beziehung zwischen Geometrie und Musik bedeutet auch, dass jede natürliche Proportion – zum Beispiel das Verhältnis der Blütenblätter oder die Blattstände einer Blume – zugleich ein unhörbarer Klang ist. Theoretisch lässt sich also jede Form auch als musikalischer Intervall ausdrücken. Wieder einmal müssen wir bewundernd feststellen: Tatsächlich, die Welt ist Klang.

Und ein weiteres ergibt sich aus dieser Feststellung: Der große Architekt, nach dessen Bauplan die Natur erschaffen ist, ist zugleich ein großartiger Komponist. Denn so, wie geometrische Formen hörbar zu machen sind, erklingen in der Musik unsichtbar auch die geometrischen Formen.

Auf eine weitere Beziehung zwischen visuellen und akustischen Erscheinlichkeiten wird an anderer Stelle näher einzugehen sein: Dass mit einem Klang zugleich auch eine unsichtbare Farben klingt, wie mit jeder Farbe ein lautloser Klang. Dieses Farbhören oder Klangsehen erklärt das Phänomen der Synästhesie, das als gelegentliche Wahrnehmung relativ weit verbreitet ist. Manche Synästhetiker fühlen Buchstaben, andere riechen Farben – und noch andere sehen Musik oder hören Zahlen als Töne.

Neurologen führen die Synästhesie auf eine ungewöhnliche Verdrahtung der verschiedenen Sinneswahrnehmungen im Gehirn zurück. Tatsächlich ist die synästhetische Erfahrung nicht objektiv – dass beispielsweise alle Farbenhörer beim gleichen Klang dieselbe Farbe sehen – sondern subjektiv. Dies erklärt sich daraus, dass jedes Individuum in gewisser Weise ein persönlich gefärbtes Prisma ist, das ein einfallendes Licht – einen Klang, eine Farbe oder die Intuition einer Idee in seiner persönlichen Färbung reflektiert.

Heilige Geometrie

Teilt man eine Zahl der Fibonacci-Reihe durch die vorhergehende Zahl, erhält man in Annäherung die unendliche Zahl „Phi“: eine transzendente, irrationale Zahl mit dem Wert 1.6180339…

Bereits den altägyptischen Baumeistern war Phi als `heilige Zahl´ bekannt. Das Phänomenale an dieser Zahl ist, dass auf ihr die Geometrie aller Strukturen und allen organischen Lebens basiert. Ob in den Wachstums-Mustern von Blumen, der Architektur von Schneckenhäusern oder im Verhalten des Lichts in den Spiralen der Galaxien im Universum: überall ist die Zahl Phi die Basis der Strukturen.

Der Mensch hat Phi als Geometrie des Knochenaufbaues in Fingern, Händen, Armen, Füßen, Beinen. Ob in den Verhältnissen der Pyramiden, den Harmonien der Musik oder den Schwankungs-Mustern des Marktes…, in allen Bereichen des Lebens ist Phi als Verhältnis-Zahl des Goldenen Schnittes, die universelle Maßzahl. In ihr offenbart sich auch die Verwandtschaftsbeziehung der Generationen als die untrennbare Verbindung eines Teiles mit dem Ganzen, weil letztlich Alles im Universum durch die mathematisch-geometrisch-harmonikale Struktur der Matrix des Lebens mit Allem verbunden ist.

Nach der Definition von Euklid (325-270 v.Chr.) ist eine Strecke a+b im Verhältnis des „Goldenes Schnittes“ geteilt, wenn sich das größere Teilstück a zum kleineren Teilstück b so verhält, wie die ganze Strecke a+b zum größeren Teilstück a.

Wird von einem „Goldenen Rechteck“ ein Quadrat abgeteilt, ist das verbleibende Restrechteck dem Ausgangsrechteck ähnlich.

Zur Konstruktion eines Rechtecks in den Proportionen des Goldenen Schnittes teilt man ein Quadrat vertikal in der Mitte und schlägt mit dem Radius dieser Diagonalen einen Kreisbogen zur Basis-Linie. Zeichnet man nun im Rechteck des goldenen Schnittes mit dem Maß seiner kürzesten Kante ein Quadrat und schlägt darin einen Kreisbogen mit dessen Kante als Radius, entsteht ein weiteres kleineres Rechteck, das in den Proportionen von Phi =1,6180339… zum größeren Rechteck steht. Führt man diesen Vorgang nun im jeweils kleineren Rechteck fort, erschafft man auf diese Weise die unendliche Spirale des Rechtecks im goldenen Schnitt, die sich unendlich nach innen und außen ohne Anfang und Ende fortsetzen kann.

Weil aber nichts anfangen kann, das nirgendwo beginnt, ist der Anfang der Fibonacci-Reihe die 1. Denn die Eins, als die einzige Zahl, die als Divisor und Multiplikator in allen Zahlen enthalten ist, ist der Anfang aller Dinge. Kein Zweifel, dass der Ersinner des großen kosmischen Planes gerade bei dieser Zahl, aus der alle weitere Schöpfung erwächst, die Konsequenzen wohl bedacht hat.

Wer wollte diese Maße statt einem göttlichen Zirkel – eher einem blinden Zufall zutrauen? Nein, bei allen Zweifeln, die man als Mensch an seinem göttlichen Ursprung haben kann: bei näherer Prüfung der Fakten ist das Walten einer göttlichen Vorsehung im Größten wie im Kleinsten unbestreitbar.

Obwohl der Mensch, seit Adam und Eva im Paradies von der Frucht des Baumes der Erkenntnis des Wahren und Falschen aßen, sich müht, ohne Gott wie Gott zu sein, ist ihm bis Heute nicht gelungen etwas Lebendiges zu erschaffen. So ist der Unterschied zwischen göttlicher und menschlicher Schöpfung vor allem dadurch kennzeichnet – wie der Vergleich der Natur mit den Produkten aus Plastik und Kunststoff anschaulich zeigt – dass Menschenwerk leblos ist – und Gottes Werk lebt.