Das Pythagoräische Komma
Cent (lat. = hundert) ist die logarithmische Maßeinheit für Intervalle. Eine Oktave hat 1200 Cent, da ihre 12 gleichstufigen Halbtöne in je 100 Cent unterteilt sind. Mittels dieser relativ neuen Einteilung (1875), lassen sich die verschiedenen Stimmungssysteme anschaulich vergleichen.
Der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für das menschliche Ohr liegt bei etwa 3 bis 6 Cent. Geringere Intervallunterschiede können nicht erkannt werden.
Das ist immerhin eine wesentlich größere Genauigkeit der Hörfähigkeit, als sie das menschliche Auge bietet, das eine sehr viel größere Toleranz bei der vergleichsweisen Unterscheidung von Farbnuancen hat.
Instrumente mit ihren 12 verschiedenen Tönen, lassen sich nicht so stimmen, dass sich in allen Tonarten absolut reine Intervalle ergeben.
Der letzte Ton der auf C aufbauenden Quintenreihe müsste eigentlich identisch mit dem Ton C sein, doch ergibt sich bei der Frequenz-Berechnung dieser Reihe eine Differenz:
531441:524288 =129,7463:128=1.0136432647705078126
Oder in Cent berechnet:
Apotone – Limma = 113,69 – 90,23 = 23,46
Diese Differenz von 23,46 Cent wird das „Pythagoräische Komma“ genannt. Eine mathematische Konstante, die über die Jahrhunderte immer wieder zu neuen rechnerischen Lösungsversuchen anregte. Die verschiedenen Stimmungs-Systeme versuchen das Pythagoreische Komma möglichst harmonisch auszugleichen, indem entweder einzelne Intervalle (Terzen) harmonisiert (Reine Stimmung), oder die rechnerische Differenz auf alle Töne gleichmäßig verteilt wird (Gleichstufige Stimmung).
Stimmungs-Systeme
Die sogenannte Pythagoräische Stimmung wird auch „Quintenreine Stimmung“ genannt, weil sich dieses Stimmungssystem aus lauter reinen Quinten aufbaut.
Der sich daraus ergebende Tonraum von 12 aufeinander folgenden reinen Quinten umfasst 7 Oktaven mit allen Tönen der chromatischen Tonleiter.
Dieses mystische Zahlenverhältnis von 12 und 7 ist uns bereits mehrfach begegnet und wird uns in anderen Zusammenhängen noch desöfteren begegnen.
Reine Stimmung
In der pythagoreischen Quintenstimmung gibt es keine „temperierten“ Intervalle. Doch weil insbesondere die pythagoreische Terz dem Ohr „unrein“ klang, wurden im Mittelalter nur Oktaven, Quinten und Quarten als spielbar empfunden.
Die Beschränkung auf diese Intervalle genügte für das einstimmige Musizieren und solange man in nur einer Tonart spielte, störte dieses Missverhältnis nicht.
Doch mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit (die einer menschheitsgeschichtlichen Kulturrevolution gleichkam) verlor die Quintenstimmung an Bedeutung.
Die zunehmenden Tonartwechsel und die Einbeziehung von Tonarten mit immer mehr Vorzeichen, ließen nach einer Lösung suchen, die diese Differenzen beseitigte.
Ab dem 14. Jahrhundert wurde die so genannte `Reine´ – oder `Harmonische´ Stimmung bevorzugt, die sich aus der Obertonreihe ableitet.
Weil sie jedoch nur innerhalb einer einzigen Oktave „sauber“ klingt, genügte auch die „Reine“ Stimmung bald nicht mehr den progressiven musikalischen Ausdrucksbedürfnissen der Komponisten.
Mitteltönige Stimmung
Erstmals in der Geschichte des Wandels der Stimmungen wurde die „Mitteltönige Stimmung“ 1523 erwähnt. Zum Ausgleich der zunehmend als Mangel empfundenen Begrenzungen der „Reinen Stimmung“ werden nun elf Quinten so reduziert, dass die sich ergebenden großen Terzen fast rein klingen.
Doch durch diese Festlegung weicht die 12. Quinte des Quintenzirkels so stark von der reinen Quinte ab, dass sie als völlig dissonant unbrauchbar wird. Aus diesem Grund nennt man sie „Wolfsquinte“. Diese Einschränkung (die auch alle Intervalle betrifft, die mit dieser Wolfsquinte in Berührung kommen) führte auf der Suche nach der „idealen Stimmung“ zu neuen Überlegungen und Berechnungen.
Es dauerte immer einen längeren Zeitraum, ehe sich eine neue Stimmung durchsetzte, weil solch eine Korrektur auch Einfluss auf den Instrumentenbau hatte. Das ist auch der Grund dafür, dass die Kompositionen ihrer Zeit nicht ohne weiteres in andere Stimmungen zu übertragen sind. Wegen dieser Inkompatibilität lässt sich die Musik vergangener Jahrhunderte und Jahrtausende nur in ihrem jeweiligen Stimmungs- und Instrumenten-Kontext verstehen.
Wohltemperierte Stimmung
Bereits Ende des 16. Jahrhunderts wurden in China und Europa die Grundlagen für eine gleichstufige Temperierung berechnet. Ende des 17. Jahrhunderts veröffentlichte Andreas Werckmeister seine Idee, die Stimmung zugunsten einer Mitteltönigkeit zu korrigieren, die eine in allen 12 Tönen der 7 Oktaven gleichschwebende Temperatur möglich machen solle, damit umfangreichere Modulationen möglich seien.
Johann Sebastian Bach reagierte auf seine Anregung mit dem „Wohltemperirten Clavier“ (1722 und 1742), das alle 12 Dur- und Molltonarten ohne Einschränkung nutzbar macht.
Doch mit diesem Kompromiss der gleichschwebend-temperierten Stimmung, wie wir sie heute kennen, ist im jahrhundertelangen Ringen um den „wahren Klang“ die Diskussion vermutlich noch nicht beendet.
Gleichschwebend temperierte Stimmung
Weil die zwölf reinen Quinten 8423,46 Cent ergeben – die sieben Oktaven dagegen nur 8400 Cent, wird das Pythagoreische Komma beim Stimmen auf die 12 Quinten verteilt. Deshalb wird die reine Quinte von 701,9550 Cent um den Wert von 1,9550 Cent auf 700 Cent reduziert.
So teilt die heute gebräuchliche „Gleichschwebend-temperierte Stimmung“ die Oktave also in zwölf gleichgroße Stufen. Jeder einzelne Halbton schwingt in einer Frequenzbandbreite von 100 Cent. Während frühere Stimmungssysteme noch einzelne Intervalle rein beließen (zum Beispiel die Terzen bei der Mitteltönigkeit), “opfert” man heutzutage alle reinen Intervalle, (bis auf die Oktave) zugunsten des Gleichmaßes.
Die mathematische Diskrepanz des Pythagoräischen Kommas zur natürlich-harmonischen Stimmung (Schisma) ist nun quasi auf alle zwölf Tonarten verteilt, die so zwar ihre eigentümliche Charakteristik verlieren, sich aber durch eine „Glattheit“ auszeichnen, die manchen bewussten Hörern schon wieder zu glatt ist, weil die Intervalle in den Oktaven praktisch alle gleich klingen.
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